题目内容
【题目】已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2
（1）求曲线C的方程
（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：
于M、N两点（A、M两点相邻）若
，当 
时，求K的取值范围
【答案】(1) x2=4y,(2) k的取值范围是[﹣
，].
【解析】试题分析：（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2=
，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；
解析：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，
∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x2=4y；
（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∵
， ∴（﹣x2，y2）=λ（x1﹣x2，y1﹣y2），
，
，
即4k2+2=
，
∵λ∈[
]，∴
，
∵函数f（x）=x+
在[
]单调单调递减，
∴4k2+2∈[2，
]，
∴k的取值范围是[﹣， ]．
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