题目内容
12．已知三向量$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$．$\overrightarrow{c}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$+11$\overrightarrow{{e}_{3}}$．问$\overrightarrow{a}$能否表示成$\overrightarrow{a}$=λ1$\overrightarrow{b}$+λ2$\overrightarrow{c}$的形式？如能，写出表达式，若不能，说明理由．分析 可假设$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{b}+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$，带入向量$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$，进行向量的加法、减法及数乘运算便可得到：$\overrightarrow{a}=（4{λ}_{1}-3{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{1}}$$+（12{λ}_{2}-6{λ}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$$+（2{λ}_{1}+11{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{3}}$，从而可以得到关于λ1，λ2的方程组，解方程组即可判断$\overrightarrow{a}$能否表示成$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{b}+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$的形式．
解答 解：假设$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow{b}+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$=${λ}_{1}（4\overrightarrow{{e}_{1}}-6\overrightarrow{{e}_{2}}+2\overrightarrow{{e}_{3}}）$$+{λ}_{2}（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+12\overrightarrow{{e}_{2}}+11\overrightarrow{{e}_{3}}）$=$（4{λ}_{1}-3{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{1}}+（12{λ}_{2}-6{λ}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$$+（2{λ}_{1}+11{λ}_{2}）\overrightarrow{{e}_{3}}$；
又$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}+2\overrightarrow{{e}_{3}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{λ}_{1}-3{λ}_{2}=-1}\\{12{λ}_{2}-6{λ}_{1}=3}\\{2{λ}_{1}+11{λ}_{2}=2}\end{array}\right.$；
${λ}_{1}=\frac{1}{5}，{λ}_{2}=-\frac{1}{10}$；
∴$\overrightarrow{a}=\frac{1}{5}\overrightarrow{b}-\frac{1}{10}\overrightarrow{c}$．
点评 考查向量的加法、减法，及数乘运算，以及平面向量基本定理．
