题目内容
【题目】定义:如果函数在定义域内给定区间
上存在
,满足
,则称函数
是
上的“平均值函数”,
是它的一个均值点.例如y=| x |是
上的“平均值函数”,0就是它的均值点.给出以下命题:
①函数是
上的“平均值函数”.
②若是
上的“平均值函数”,则它的均值点x0≥
.
③若函数是
上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是
.
④若是区间[a.,b] (b>a.≥1)上的“平均值函数”,
是它的一个均值点,则
.
其中的真命题有_________.(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】
直接利用定义判断①的正误;利用反例判断②的正误;利用定义推出m的范围判断③的正误;利用分析法直接证明,结合导数可证明④的正误.
解:①由,可得
由,可得
满足“平均值函数”,故①正确;
②举反例,令,
,可得
,又
,故②错误;
③ 由函数是
上的“平均值函数”,所以关于
的方程:
在区间
内有实数根,
由,可得
,可得
,或
,
又,故
必为均值点,即
,可得
,故③ 正确;
④由题意得:,要证明
,
即证明:,
令,原式子等价于:
,
令,可得
,
故在区间
是减函数,故
,故④正确;
故答案为:①③④.
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练习册系列答案
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