题目内容

已知在等比数列{an}中,2a2=a1+a3-1,a1=1.
(1)若数列{bn}满足b1+
b2
2
+
b3
3
+…+
bn
n
=an(n∈N*),求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn
(1)设数列{an}的公比为q,2a2=a1+a3-1,
2a1q=a1+a1q2-1
∵a1=1,∴2q=q2
∵q≠0,∴q=2,an=2n-1
b1+
b2
2
+
b3
3
+…+
bn
n
=an
,①
当n≥2时,b1+
b2
2
+
b3
3
+…+
bn-1
n-1
=an-1,②
①-②,得
bn
n
=an-an-1
=2n-1-2n-2=2n-2
∴bn=n•2n-2,n≥2.
∴bn=
1,n=1
n•2n-1,n≥2

(2)由(1)得Sn=1+2×20+3×21+4×22+…+n•2n-2,③
2Sn=2+2×21+3×22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1,④
③-④得
-Sn=1+2+22+…+2n-2-n•2n-1
=
1-2n-1
1-2
-n•2n-1
=(1-n)•2n-1-1,
∴Sn=(n-1)•2n-1+1.
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