题目内容
8．若a+$\frac{1}{a}$=3，则a2+a3+a4+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{a}^{4}}$=73．分析 利用完全平方公式a2+$\frac{1}{{a}^{2}}$，a4+$\frac{1}{{a}^{4}}$，利用$（a+\frac{1}{a}）$$（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）$=3×7，可得a3+$\frac{1}{{a}^{3}}$，
解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3，∴$（a+\frac{1}{a}）^{2}$=a2+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2=9，∴a2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=7，
∴$（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）^{2}$=a4+$\frac{1}{{a}^{4}}$+2=49，∴a4+$\frac{1}{{a}^{4}}$=47，
∴$（a+\frac{1}{a}）$$（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）$=a3+$\frac{1}{{a}^{3}}$+a+$\frac{1}{a}$=3×7，
∴a3+$\frac{1}{{a}^{3}}$=3×7-3=18，
则a2+a3+a4+$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{a}^{4}}$=${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$+a3+$\frac{1}{{a}^{3}}$+${a}^{4}+\frac{1}{{a}^{4}}$=7+18+47=73．
故答案为：73．
点评 本题考查了乘法公式的应用、多项式的乘法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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