Question

3．在△ABC中，sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，可得$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sinA}$=2$\sqrt{6}$，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$+$\frac{2\sqrt{3}}{b}$=2$\sqrt{6}$，a+b=$\sqrt{2}$ab，由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC），从而可得ab=3，即可求△ABC的面积．

解答 解：∵sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，
∴$\frac{1}{sinB}$+$\frac{1}{sinA}$=2$\sqrt{6}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{a}$+$\frac{2\sqrt{3}}{b}$=2$\sqrt{6}$，
∴a+b=$\sqrt{2}$ab…（1）
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC）…（2）
由（1）（2）知道：3²=（$\sqrt{2}$ab）²-2ab（1+cos60°）
整理：（2ab+3）（ab-3）=0：
∵2ab+3＞0，
∴ab=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×3×sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．