题目内容
已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N） 顺次为一次函数
图象上的点， 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N） 顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1）， 对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.
⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由.
图象上的点， 点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N） 顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1）， 对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由.
（1）
(nÎN)；（2）xn=
（3）存在直角三形，此时a的值为
、
、
.
(nÎN)；（2）xn= （3）存在直角三形，此时a的值为
、、. （I）因为(nÎN),易根据等差数列的定义判断出{yn}为等差数列.
（II）解本小题的关键是先根据xn+1-xn=2为常数,可确定
的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而求出
.
(III) 要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2
=2(
)Þxn+1-xn=2()，
当n为奇数时，xn+1-xn=2(1-a)；当n为偶数时，xn+1-xn=2a.然后分别研究即可.
（1）(nÎN),yn+1-yn=
,∴{yn}为等差数列 (4¢)
（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=
(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=,
若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)
(nÎN),易根据等差数列的定义判断出{yn}为等差数列.（II）解本小题的关键是先根据xn+1-xn=2为常数,可确定
的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而求出.(III) 要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2
=2()Þxn+1-xn=2()，当n为奇数时，xn+1-xn=2(1-a)；当n为偶数时，xn+1-xn=2a.然后分别研究即可.
（1）
(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 (4¢)（2）xn+1-xn=2为常数 (6¢) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2
=2()Þxn+1-xn=2()当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2(
) Þa=(n为奇数，0＜a＜1) (*)取n=1，得a=
，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2(
)Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=,若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为
、、. (18¢)
练习册系列答案
相关题目
满足：
，且
，证明数列
是等差数列；（2）求数列
，
为数列
的前
项和，证明
.
中，
，
．
项和
，求
四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则
= （ ） 
的前
项和
，则数列
的前n项的和Sn = 2n2-n+1，则an= 
}是等差数列，
=7，则
=_________
中，若
，则通项
= ( )
