题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,动点
到点
的距离和它到直线
的距离相等,记点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)设点在曲线
上,
轴上一点
(在点
右侧)满足
,若平行于
的直线与曲线
相切于点
,试判断直线
是否过点
?并说明理由.
【答案】(1) (2)直线
过点
,理由见解析
【解析】
(1)由抛物线的定义求出的方程;
(2)根据抛物线的定义表示出点的坐标,根据坐标写出直线
的斜率,进而得到直线
的方程,将直线
与抛物线方程联立,结合判别式得出
,进而得出点D的坐标,求出直线
的斜率,讨论
和
,得出直线
的方程,即可判断直线
是否过点
.
解:(1)根据抛物线的定义得,动点的轨迹是以
为焦点,直线
的抛物线.
(2)由题设,则
,
又,故
由于,则直线
不与
轴垂直
令平行于的直线
,则
,
将直线代入
,得
,
整理……①
,
当时,直线AB为
轴,此时不存在平行于
的直线与曲线
相切于点
即
所以①可以化为
,
,
当时
,
,过定点
当时,
也过点
,故直线
过点
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