题目内容
【题目】已知函数在
处的切线
与直线
平行.
(1)求实数的值;
(2)若函数在
上恰有两个零点,求实数
的取值范围.
(3)记函数,设
是函数
的两个极值点,若
,且
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)利用导数和切线的斜率列方程,解方程求得的值.
(2)由(1)求得的解析式.构造函数
,利用导数研究
的单调性,以及极值,结合
在
上恰有两个零点列不等式组,解不等式组求得
的取值范围.
(3)利用导数,结合根与系数关系,求得两个极值点的关系式,将
表示为只含
的表达式,由此利用导数求得
的最小值,由此求得
的取值范围.
(1),
∵函数在
处的切线
与直线
平行,
∴,解得
;
(2)由(1)得,
∴函数,
令,则
,
令得
,
,列表得:
1 | (1,2) | 2 | |||
0 | 0 | ||||
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
|
∴当时,
的极小值为
,又
,
∵函数在
上恰有两个零点
∴即
,解得
.
(3),∴
,
令得
,
∵,
是
的极值点,∴
,
,∴
,
∵,∴
解得:
,
∴,
令,
则,∴
在
上单调递减;
∴当时
,∴
的最大值为
.
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