Question

【题目】已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点P（-2，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点．

（1）当点P为A、B的中点时，求直线AB的方程；

（2）求|AF||BF|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x+y=0；（2）

【解析】

（1）解法1：利用平方差法，求得直线的斜率，即可求解直线的方程；

解法2：设l的方程为y=k（x+2）+2，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，即可求解直线的方程．

（2）解法1：由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，得到|AF||BF|=y1y2+（y1+y2）+1，联立方程组，利用方程的根和系数的关系，代入即可求解；

解法2：由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，化简|AF||BF|=y1y2+（y1+y2）+1，利用抛物线的性质，即可求解．

（1）解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），，

显然x1≠x2，两式相减得，∴k=-1，

所以直线AB的方程为y-2=-（x+2）．即x+y=0．

解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l有斜率，

设l的方程为y=k（x+2）+2，

联立方程，消去x整理得y2-4（k2+k+1）y+4（k+1）2=0，

由解得k=-1（k=0明显不成立），

所以直线AB的方程为y-2=-（x+2）．即x+y=0．

（2）解法1：显然直线l有斜率，设l的方程为y=k（x+2）+2

设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF||BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，

联立方程，消去x整理得y2-4（k2+k+1）y+4（k+1）2=0，

∴，，

所以，

所以当时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为．

解法2：由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF||BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，

，

由（1）知x1x2=-8（k+1），得，y1+y2=k（x1+x2+4）+4=4k（k+1）+4，

所以

所以当时，|AF||BF|取得最小值为．