题目内容
【题目】已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点P(-2,2)的直线l与抛物线C交于A,B两点.
(1)当点P为A、B的中点时,求直线AB的方程;
(2)求|AF||BF|的最小值.
【答案】(1)x+y=0;(2)
【解析】
(1)解法1:利用平方差法,求得直线的斜率
,即可求解直线的方程;
解法2:设l的方程为y=k(x+2)+2,联立方程组,利用根与系数的关系,求得,即可求解直线的方程.
(2)解法1:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,得到|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,联立方程组,利用方程的根和系数的关系,代入即可求解;
解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,化简|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1,利用抛物线的性质,即可求解.
(1)解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),,
显然x1≠x2,两式相减得,∴k=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+2).即x+y=0.
解法2:设A(x1,y1),B(x2,y2),显然直线l有斜率,
设l的方程为y=k(x+2)+2,
联立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
由解得k=-1(k=0明显不成立),
所以直线AB的方程为y-2=-(x+2).即x+y=0.
(2)解法1:显然直线l有斜率,设l的方程为y=k(x+2)+2
设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
联立方程,消去x整理得y2-4(k2+k+1)y+4(k+1)2=0,
∴,
,
所以,
所以当时,|AF||BF|取得最小值,且最小值为
.
解法2:由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,
,
由(1)知x1x2=-8(k+1),得,y1+y2=k(x1+x2+4)+4=4k(k+1)+4,
所以
所以当时,|AF||BF|取得最小值为
.
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