Question

6．如图，菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=$\frac{2}{3}$π，E为线段AD的动点，设∠ECD=α．
（1）若EA=ED，求sinα；
（2）分别过D、B作EC的垂线，垂足分别为M、N，求2DM+BN的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出CE，再利用正弦定理，即可求sinα；
（2）2DM+BN=2sinα+sin（60°-α）=$\sqrt{3}$sin（α+30°），即可求2DM+BN的取值范围．

解答 解：（1）由题意，CE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{\frac{1}{2}}{sinα}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$；
（2）2DM+BN=2sinα+sin（60°-α）=$\sqrt{3}$sin（α+30°），
∵0°＜α＜30°，
∴30°＜α+30°＜60°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（α+30°）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2DM+BN的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．