Question

7．已知正△ABC边长为1，P在内部（不含边界）任意点，设$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），则在坐标系中点（x，y）对应区域面积为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由条阿金利用平面向量基本定理及其几何意义，求得x、y满足的条件，可得所求的面积．

解答 解：∵正△ABC边长为1，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），
当点P在BC上时，x+y=1，
而已知P是三角形ABC内部任一点，∴x+y＜1，且x＞0，y＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{x+y＜1}\end{array}\right.$，满足上述约束条件的点M（x，y）的可行域为一个三角形OMN的内部，
顶点O（0，0）、M（1，0）、N（0，1）．
故坐标系中点（x，y）对应区域面积为$\frac{1}{2}$•OM•ON=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，判断 x+y＜1，是解题的关键，属于基础题．