题目内容

(12分)已知函数f(x)=lnx-(a≠0)
(1)若a=3,b=-2,求f(x)在[,e]的最大值;
(2)若b=2,f(x)存在单调递减区间,求a的范围.
(1)当且仅当x=1,f(x)max=f(1)=a-b=-+2= ;
(2) a的范围(-1,0)(0,+)
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的最值和函数单调性的逆向运用。
(1)由于=,然后分析当a=3,b=-2,时的导数,分别为正和负的取值范围,得到单调性,然后求解极值,和最值。
(2)因为f(x)存在递减区间,f′(x)<0有解那么即等价于ax2+2x-1>0有x>0的解,利用对参数a讨论得到范围。
解:(1) =-ax-b=-3x+2==-
 当时  f′(x)0;   1<xe     f′(x)<0
当且仅当x=1,f(x)max=f(1)=a-b=-+2=……5分
(2) = -ax-2=
f(x)存在递减区间,f′(x)<0有解
ax2+2x-1>0有x>0的解…………7分
a>0,显然满足…………9分
a<0时,则△=4+4a>0且ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1<a<0……11分
a的范围(-1,0)(0,+) …………12分
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