题目内容

(本小题满分14分)
已知函数,其中常数
(Ⅰ)当时,求函数的极值点;
(Ⅱ)令,若函数在区间上单调递增,求的取值范围;
(Ⅲ)设定义在D上的函数在点处的切线方程为时,若D内恒成立,则称P为函数的“特殊点”,请你探究当时,函数是否存在“特殊点”,若存在,请最少求出一个“特殊点”的横坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅰ) 为函数的极大值点,为函数的极小值点.
(Ⅱ) ;(Ⅲ)是一个特殊点的横坐标.
本试题主要是考查了导数在研究函数的中的运用。确定函数的单调性,以及函数的极值点,和函数的最值问题的综合运用。
(1)由于当a=4时,解析式确定,求解导数,判定单调性,可以知道函数的 极值点的问题。
(2)因为令,若函数在区间上单调递增,说明了函数F(x)在给定区间的导数恒大于等于零,来分离参数得到取值范围。
(3)根据新的定义“特殊点”的理解,然后给定参数a的值为4,结合第一问的结论,分析可知是否有满足题意的特殊点,主要是借助于导数分析单调性得到。
(Ⅰ)当时,=
时,,即上单调递增;
时,,即上单调递减,
所以为函数的极大值点,为函数的极小值点.        ……4分
(Ⅱ),若函数在区间上单调递增,只需满足恒成立                     ………………6分
恒成立
所以                                      ………………………8分
(Ⅲ)由题意:当时,
则在点P处切线的斜率
所以
             ………………………10分


时,上单调递减.时,从而有时,
时,上单调递减,从而有时,                            ………………………12分
上不存在“特殊点”.当时,
上是增函数,故是一个特殊点的横坐标.
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