题目内容

已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
(1)y=13x-32
(2)直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26)
(3)切线坐标:(1,-14)(-1,-18)    切线方程:y=4x-18或y=4x-14
解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.
∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,
∴直线l的方程为
y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,
整理得,x03=-8,∴x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(3)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f′(x0)=3x02+1=4,
∴x0=±1,

∴切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
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