Question

已知函数f(x)＝x²－1与函数g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设F(x)＝f(x)－2g(x)，求函数F(x)的极值．

Answer 1

（1）a＝2.     （2）见解析

解：(1)因为f(1)＝0，g(1)＝0，
所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图像上，
因为f(x)＝x²－1，g(x)＝aln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.
(2)因为F(x)＝f(x)－2g(x)＝x²－1－2aln x(x>0)，
所以F′(x)＝2x－＝，
当a<0时，
因为x>0，且x²－a>0，所以F′(x)>0对x>0恒成立，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)无极值；
当a>0时，
令F′(x)＝0，解得x₁＝，x₂＝－ (舍去)，
所以当x>0时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：

x	(0，)		(，＋∞)
F′(x)	－	0	＋
F(x)	递减	极小值	递增

 
所以当x＝时，F(x)取得极小值，且F()＝()²－1－2aln＝a－1－aln a.
综上，当a<0时，函数F(x)在(0，＋∞)上无极值；
当a>0时，函数F(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a.