Question

10．已知函数y=$\sqrt{m{x^2}+6mx+m+8}$的定义域为R，求实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． （0，1）
• C． （0，2）
• D． [0，2]

Answer 1

分析 把函数的定义域为R转化为对任意实数x，mx²+6mx+m+8≥0恒成立．验证m=0时成立，当m≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$求解m的范围．

解答 解：∵$y=\sqrt{m{x^2}+6mx+m+8}$的定义域为R，
∴对任意实数x，mx²+6mx+m+8≥0恒成立．
当m=0时，mx²+6mx+m+8=8≥0成立；
当m≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{（6m）^{2}-4m（m+8）≤0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤1．
综上，实数m的取值范围是[0，1]．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．