题目内容
【题目】已知抛物线的方程为
,
为其焦点,过不在抛物线上的一点
作此抛物线的切线
,
为切点.且
.
(Ⅰ)求证:直线过定点;
(Ⅱ)直线与曲线
的一个交点为
,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)设直线的方程为
,设
,
,由
消去
得
,根据韦达定理,结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为
,
.由这两切线垂直得
,从而可得结论;(Ⅱ)设
,则
,
,
,
,
,利用导数求出
的最小值即可.
试题解析:(Ⅰ)设直线的方程为
,设
,
以为切点的切线方程分别为
,
.
由消去
得
.
则,
.
这两条切线的斜率分别为,
.
由这两切线垂直得,得
.
所以直线恒过定点
.
(Ⅱ)设,则
,
,
当时,则
,可得
,
当时,则
,
,
,
同样可得.
所以.
由.
所以
.
令,
.
.
所以在
上为减函数,在
上为增函数.
所以.
(或
当
时取等号.)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | 400 | 300 | 700 |
认为共享产品对生活无益 | 100 | 200 | 300 |
总计 | 500 | 500 | 1000 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为共享产品的态度与性别有关系?
(2)为了答谢参与问卷调查的人员,该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放1张超市的购物券,购物券金额以及发放的概率如下:
购物券金额 | 20元 | 50元 |
概率 |
现有甲、乙两人领取了购物券,记两人领取的购物券的总金额为,求
的分布列和数学期望.
参考公式: .
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |