题目内容
【题目】设函数,
是定义域为
的奇函数.
(1)确定的值;
(2)若,函数
,
,求
的最小值;
(3)若,是否存在正整数
,使得
对
恒成立?若存在,请求出所有的正整数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)
;(3)存在,
.
【解析】
(1)由题可知,,代入函数解析式即可求出
的值;
(2)根据已知条件得,运用换元法令
,得函数
,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值;
(3)由题意,将问题转化为在
恒成立,
解:(1)是定义域为R上的奇函数,
,得
,
,经验证符合题意,
.
(2)由(1)可知,,又
,即
或
(舍去),
,
,
令,
在
是增函数,得
,
则,函数对称轴
可知时,有最小值
.
(3)存在
理由如下:,
,
,
则对
恒成立,
所以
,
设
易证在
上是减函数,当
时最小值
,
即时,
的最小值为
,
所以,
,
∵是正整数,
∴.
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