题目内容

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（m，0）（m＞$\sqrt{6}$）且斜率为-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直线l交椭圆于C，D两点，F为椭圆的右焦点，如果|CD|2=4|FC|•|FD|，求∠CFD的大小．

分析 （1）由离心率可得a，b的关系，再由连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为$4\sqrt{3}$，得到a，b的另一关系，联立求出a，b得答案；
（2）由题意得直线l的方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，联立直线方程与椭圆方程，由△＞0求出m的范围，再利用根与系数的关系求出C，D两点横坐标的和与积，进一步把|CD||FC|用含有m的代数式表示，结合|CD|2=4|FC|•|FD|求得m=3，可得$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}（{x}_{1}{+x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2（{m}^{2}-3m）}{3}=0$．
则∠CFD的大小可求．

解答 解：如图，
（1）∵$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}b$，
又连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为$4\sqrt{3}$，
∴$2ab=4\sqrt{3}$，即$ab=2\sqrt{3}$，
∴a2=6，b2=2，因此椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）由题意得直线l的方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）}\end{array}\right.$，得2x2-2mx+m2-6=0．
由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
又m$＞\sqrt{6}$，∴$\sqrt{6}＜m＜2\sqrt{3}$，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则${x}_{1}+{x}_{2}=m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}•\sqrt{12-{m}^{2}}$．
又∵|FC|=$\sqrt{（{x}_{1}-2）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+4）+\frac{6-{{x}_{1}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}（3-{x}_{1}）$．
|FD|=$\sqrt{（{x}_{2}-2）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}=\sqrt{（{{x}_{2}}^{2}-4{x}_{2}+4）+\frac{6-{{x}_{2}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}（3-{x}_{2}）$．
|FC||FD|=$\frac{2}{3}（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）=\frac{2}{3}[{x}_{1}{x}_{2}-3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9]$=$\frac{1}{3}（{m}^{2}-6m+12）$．
由|CD|2=4|FC|•|FD|，得$\frac{4}{3}（12-m）^{2}=\frac{4}{3}（{m}^{2}-6m+12）$，解得m=0或m=3．
又$\sqrt{6}＜m＜2\sqrt{3}$，∴m=3，
又∵$\overrightarrow{FC}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}），\overrightarrow{FD}=（{x}_{2}-2，{y}_{2}）$，
且${y}_{1}{y}_{2}=[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}-m）]•[-\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{2}-m）]$=$\frac{1}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}$．
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}（{x}_{1}{+x}_{2}）+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2（{m}^{2}-3m）}{3}=0$．
∴∠CFD=90°．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系求解，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是压轴题．

练习册系列答案
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