Question

13．若3sinα+cosα=$\sqrt{10}$，则tanα的值为3；$\frac{1}{{{{cos}^2}α+sin2α}}$的值为$\frac{10}{7}$．

Answer 1

分析 由已知等式，结合sin²α+cos²α=1，求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值；原式利用同角三角函数间基本关系变形，把tanα的值代入计算即可求出值．

解答 解：由3sinα+cosα=$\sqrt{10}$，得到cosα=$\sqrt{10}$-3sinα，
代入sin²α+cos²α=1得：sin²α+（$\sqrt{10}$-3sinα）²=1，
这里得：10sin²α-6$\sqrt{10}$sinα+9=0，即（$\sqrt{10}$sinα-3）²=0，
解得：sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=3；$\frac{1}{co{s}^{2}α+sin2α}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α+2sinαcosα}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1}{1+2tanα}$=$\frac{9+1}{1+6}$=$\frac{10}{7}$，
故答案为：3；$\frac{10}{7}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．