题目内容

已知向量
a
=(cosx,4sinx-2),
b
=(8sinx,2sinx+1)
,x∈R,设函数f(x)=
a
b

(1)求函数f(x)的最大值;
(2)在△ABC中,A为锐角,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面积为3,b+c=2+3
2
,求a的值.
(1)∵函数f(x)=
a
b
=8sinxcosx+(4sinx-2)(2sinx+1)=4sin2x-4cos2x+2
=4
2
sin(2x-
π
4
)+2,
∴函数f(x)的最大值为 4
2
+2.
(2)在△ABC中,∵A为锐角,f(A)=6,∴4
2
sin(2A-
π
4
)+2=6,解得 sin(2A-
π
4
)=
2
2

∴A=
π
4

∴△ABC的面积为3=
1
2
•bc•sinA=
2
4
bc,∴bc=6
2

再根据 b+c=2+3
2

可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-2bc-2bc×
2
2
=10,∴a=
10
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