题目内容
(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过且与椭圆相交于A,B两点,当P是AB的中点时,求直线的方程.
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过且与椭圆相交于A,B两点,当P是AB的中点时,求直线的方程.
(1)
(2)
解:设椭圆方程为.---
由已知可得
∴所求椭圆方程为-------------------------------------4分.
(Ⅱ)当直线的斜率存在时,
设直线的方程为,,,
则,,
两式相减得:.
∵P是AB的中点,
∴,代入上式可得直线AB的斜率为,
∴直线的方程为.-----------------------------------------8分
当直线的斜率不存在时,将代入椭圆方程并解得,,这时AB的中点为,
∴不符合题设要求.----------------------------------10分
综上,直线的方程为.------------------------- 12分
由已知可得
∴所求椭圆方程为-------------------------------------4分.
(Ⅱ)当直线的斜率存在时,
设直线的方程为,,,
则,,
两式相减得:.
∵P是AB的中点,
∴,代入上式可得直线AB的斜率为,
∴直线的方程为.-----------------------------------------8分
当直线的斜率不存在时,将代入椭圆方程并解得,,这时AB的中点为,
∴不符合题设要求.----------------------------------10分
综上,直线的方程为.------------------------- 12分
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