题目内容

9.已知函数f(x)=ax2-1的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线8x-y+2=0平行,若数列{$\frac{1}{f(n)}$}的前n项和为Sn,则S2012的值为$\frac{2012}{4025}$.

分析 由题意和求导公式得f′(x)=2ax,由切线l与直线8x-y+2=0平行求出a的值,代入f(x)求出f(n),再化简$\frac{1}{f(n)}$利用裂项相消法求出S2012的值.

解答 解:由题意得,f′(x)=2ax,
∵在点A(1,f(1))处的切线l与直线8x-y+2=0平行,
∴f′(1)=2a=8,解得a=4,
则f(x)=4x2-1,即f(n)=4n2-1=(2n-1)(2n+1),
∴$\frac{1}{f(n)}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$),
∴S2012=$\frac{1}{2}$[(1-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$)+…+($\frac{1}{2×2012-1}-\frac{1}{2×2012+1}$)]
=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{4025}$)=$\frac{2012}{4025}$,
故答案为:$\frac{2012}{4025}$.

点评 本题考查裂项相消法求数列的和,以及导数的几何意义,属于中档题.

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