题目内容

4.已知数列{an}的前n项和Sn=$\frac{1}{4}$(an-1)(n∈N×
(1)求a1和a2的值.
(2)求证:数列{an}为等比数列.

分析 (1)分别令n=1,2即可求a1和a2的值.
(2)根据等比数列的定义即可证明数列{an}为等比数列.

解答 解:(1)∵Sn=$\frac{1}{4}$(an-1)(n∈N×),
∴当n=1时,a1=$\frac{1}{4}$(a1-1),解得a1=-$\frac{1}{3}$,
当n=2时,a1+a2=$\frac{1}{4}$(a2-1),解得a2=$\frac{1}{9}$.
证明:(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{4}$(an-1)-$\frac{1}{4}$(an-1-1)=$\frac{1}{4}$an-$\frac{1}{4}$an-1
即3an=-an-1
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$-\frac{1}{3}$,
∴数列{an}是公比q=-$\frac{1}{3}$的等比数列.

点评 本题主要考查数列的递推公式的应用,结合等比数列的定义以及an=Sn-Sn-1是解决本题的关键.

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