Question

3．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当x∈（-2，0]时，f（x）=log₂（2-x）+2，则 f（2014.5）=log₂7+1．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），可得函数的周期为4，进而可得f（2014.5）=f（-1.5），代入可得答案．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是以4为周期的周期函数，
又∵2014.5÷4=503…2.5，
∴f（2014.5）=f（2.5）=f（-1.5），
∵当x∈（-2，0]时，f（x）=log₂（2-x）+2，
∴f（-1.5）=log₂（2+1.5）+2=log₂$\frac{7}{2}$+2=log₂7+1，
故答案为：log₂7+1

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数的运算性质，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档．