Question

14．一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（1）若袋中共有10个球，①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期E（ξ）；
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

分析 （1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，由题意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x的值，即为所求．
②随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
由P（ξ=K）=$\frac{{C}_{5}^{K}{•C}_{5}^{3-K}}{{C}_{10}^{3}}$ （K=0，1，2，3 ）得随机变量ξ分布列，再根据分布列求得故E（ξ） 的值．
（2）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，求得 P（B）=$\frac{16}{25}$+$\frac{6}{25（n-1）}$，可得它的值小于或等于 $\frac{7}{10}$．再根据至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于$\frac{2n}{5}$，红球的个数少于$\frac{n}{5}$，从而得出结论．

解答 解：（1）①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则由题意可得P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，得到x=5，或 x=14（舍去），
故白球有5个．
②随机变量ξ的取值为0，1，2，3．
由P（ξ=K）=$\frac{{C}_{5}^{K}{•C}_{5}^{3-K}}{{C}_{10}^{3}}$ （K=0，1，2，3 ）得随机变量ξ分布列如下表所示：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

故E（ξ）=0+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
（2）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=$\frac{2}{5}$n，n≥5，n∈N．
记“从袋中任意摸2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则 P（B）=$\frac{{C}_{\frac{2n}{5}}^{1}{•C}_{\frac{3n}{5}}^{1}{+C}_{\frac{2n}{5}}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{5}•\frac{3n}{5}+\frac{\frac{2n}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{2}}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{\frac{12n}{25}+\frac{2}{5}（\frac{2n}{5}-1）}{n-1}$=$\frac{16n-10}{25（n-1）}$=$\frac{16（n-1）+6}{25（n-1）}$
=$\frac{16}{25}$+$\frac{6}{25（n-1）}$≤$\frac{16}{25}+\frac{6}{25×4}$=$\frac{7}{10}$．
再根据至少得到1个白球的概率是$\frac{7}{9}$，可得白球的个数比黑球多，白球个数多于$\frac{2n}{5}$，红球的个数少于$\frac{n}{5}$．
故袋中红球个数最少．

点评 本题主要考查离散型随机变量的分布列，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．