Question

13．从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使得|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=12，则点P轨迹方程是x²+y²-3x=0．

Answer 1

分析 以极点为坐标原点建立直角坐标系，先将直线方程ρcosθ=4化为x=4，设P（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用向量条件，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．

解答 解：以极点为坐标原点建立直角坐标系，
将直线方程ρcosθ=4化为x=4，
设P（x，y），M（4，y₀），|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|=（x，y）•（4，y₀）=12，
可得4x+yy₀=12，
又MPO三点共线，xy₀=4y，x²+y²-3x=0
故答案为：x²+y²-3x=0．

点评 本小题主要考查直接法求轨迹方程、简单曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．