题目内容

3.已知函数f(x)=$\frac{sinx}{x}$,判断下列六个命题的真假:
(1)f(x)<1
(2)f(x)没有最大值
(3)f(x)是周期函数                      
(4)f(x)是偶函数
(5)f(x)的相邻零点的差的绝对值为常数;  
(6)当x=$\frac{3}{2}$π时,f(x)取得最小值.
其中真命题有(1)(2)(4).(写出所有真命题的序号)

分析 分析函数f(x)=$\frac{sinx}{x}$的图象和性质,进而判断6个命题的真假,可得结论.

解答 解:函数f(x)=$\frac{sinx}{x}$表示y=sinx一点(x,sinx)与原点连线的斜率,
故当点(x,sinx)与原点连线与y=sinx相切时,取得最大值,
由y′=cosx可得y=sinx切线斜率的最大值为1,
又由x≠0,故$\frac{sinx}{x}$≠1,
即f(x)<1,
故(1)正确,(2)正确;
函数f(x)=$\frac{sinx}{x}$不是周期函数,故(3)错误;
函数f(x)=$\frac{sinx}{x}$满足f(-x)=f(x),是偶函数,故(4)正确;
令f(x)=0,则sinx=0,x=kπ,k∈Z且k≠0,
则f(x)的相邻正零点和相邻负零点的差的绝对值为常数π,
但最大的负零点-π与最小的正零点π之间差的绝对值为2π,
故(5)错误;
f(x)有最大值,但最小值点不是$\frac{3}{2}$π,故(6)错误;
故真命题为:(1)(2)(4),
故答案为:(1)(2)(4)

点评 考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档.

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