Question

18．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且对任意的正整数n都有2a_n+1+S_n=2
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）是否存在正整数m，n，使得$\frac{{S}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$＞1+a_m+2成立？若存在．求出符合条件的有序实数对（m，n），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过2a_n+1+S_n=2与2a_n+2+S_n+1=2作差、整理得a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n+1，进而可知数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$、a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，通过化简可知$\frac{{S}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$=1+$\frac{1}{{2}^{n+1}-m•{2}^{n}-2}$，进而$\frac{{S}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$＞1+a_m+2成立等价于$\frac{1}{{2}^{n+1}-m•{2}^{n}-2}$＞$\frac{1}{{2}^{m+1}}$，从而确定m=1，化简计算即得结论．

解答 （1）证明：∵2a_n+1+S_n=2，
∴2a_n+2+S_n+1=2，
两式相减得：2a_n+2+a_n+1-2a_n+1=0，
整理得：a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n+1，
又∵2a₂+a₁=2，即2a₂=2-a₁=2-1=1=a₁满足上式，
∴数列{a_n}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）结论：存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（1，2）．
理由如下：
由（1）可知，S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{S}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$=$\frac{{S}_{n}+{a}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$=1+$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}-m}$=1+$\frac{\frac{1}{{2}^{n}}}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}-m}$=1+$\frac{1}{{2}^{n+1}-m•{2}^{n}-2}$，
∴$\frac{{S}_{n+1}-m}{{S}_{n}-m}$＞1+a_m+2成立等价于$\frac{1}{{2}^{n+1}-m•{2}^{n}-2}$＞a_m+2=$\frac{1}{{2}^{m+1}}$，
∴0＜2ⁿ⁺¹-m•2ⁿ-2＜2^m+1，（*）
∴（2-m）2ⁿ＜2（1+2^m），
∴（2-m）2^n-1＜1+2^m，
当m≥2时，$\frac{1}{{2}^{n+1}-m•{2}^{n}-2}$＜0，显然不满足题意，
∴m=1，
∴（*）式即为：0＜2ⁿ⁺¹-2ⁿ-2＜2²，
整理得：0＜2ⁿ＜6，
∴n=1，2，
综上，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（1，2）．

点评 本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的和，训练了与数列有关的存在性问题的判定方法，注意解题方法的积累，属于难题．