Question

【题目】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为，.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，过点作直线交抛物线于、两点，求的最大值，并求取得最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当直线的方程为时，取最大值.

【解析】

（1）设点、，可得出，利用焦点弦长公式可求得的值，进而可得出抛物线的方程；

（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将表示为以为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的直线的方程.

（1）设点、，由于线段的中点的横坐标为，则，

由抛物线的焦点弦长公式得，解得.

因此，抛物线的方程为；

（2）设点、，设直线的方程为，

联立，消去并整理得.

由韦达定理得，.

，同理可得，

.

当时，取最大值，此时，直线的方程为.