题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)求函数的单调区间.
(2)若函数有两个极值点
、
,且
,证明:
.
【答案】(1)详见解析 (2)见解析.
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,研究导数中二次函数的单调性及零点的分布,从而求出函数的单调区间;
(2)通过韦达定理,将所证明的函数中的与a都用
表示,构造新函数,由条件求得新函数的定义域,进而再利用导数求值域,即可证明结论.
(1)的定义域为
,
令,
①即
,即
,即
,当且仅当
,
时
所以在
单调递增
②且
,即
,
的两根
,
,
,即
,
在
单调递减,
,
,即
,
在
单调递增.
③且
,即
时,
的两根
,
,
,即
,
在
单调递增,
,
,即
,
在
单调递减,
,
,即
,
在
单调递增,
综合上述:时,
的单调增区间为
时,
的单调增区间为
,
,
单调减区间为
,
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)由(1)可知,有两个极值点
,
则
,且
则
=,
令,
,
,则
在
,
,则
在
上单调递增,
,
则.
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