Question

6．正三角形ABC内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=m$\overrightarrow{CA}$+n$\overrightarrow{CB}$，∠MCA=45°，则$\frac{m}{n}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 对等式$\overrightarrow{CM}=m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB}$两边分别同时乘以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CA}=m{\overrightarrow{CA}}^{2}+n\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}\\{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CB}=m\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+n{\overrightarrow{CB}}^{2}}\end{array}\right.$，然后进行数量积的运算便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{CM}|a=m{a}^{2}+\frac{n{a}^{2}}{2}}&{①}\\{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}|\overrightarrow{CM}|a=\frac{m{a}^{2}}{2}+n{a}^{2}}&{②}\end{array}\right.$，a表示正三角形的边长，$\frac{①}{②}$便可得到$\sqrt{3}m=\frac{3-\sqrt{3}}{2}n$，这样即可求出$\frac{m}{n}$．

解答 解：如图，

设正三角形的边长为a，由$\overrightarrow{CM}=m\overrightarrow{CA}+n\overrightarrow{CB}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CA}=m{\overrightarrow{CA}}^{2}+n\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}\\{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CB}=m\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+n{\overrightarrow{CB}}^{2}}\end{array}\right.$；
$cos15°=cos（60°-45°）=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{CM}|a=m{a}^{2}+\frac{n{a}^{2}}{2}}&{①}\\{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}|\overrightarrow{CM}|a=\frac{m{a}^{2}}{2}+n{a}^{2}}&{②}\end{array}\right.$；
∴$\frac{①}{②}$得，$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{m+\frac{n}{2}}{\frac{m}{2}+n}$；
∴$\sqrt{3}m=\frac{3-\sqrt{3}}{2}n$；
∴$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：D．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，以及两角差的余弦公式，向量夹角的概念．