题目内容
16.已知命题p:函数y=(a-1)x在R上单调递增;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意的实数x恒成立,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.分析 分别求出p,q成立的等价条件,利用p∨q为真,p∧q为假,确定实数a的取值范围
解答 解:若函数函数y=(a-1)x在R上单调递增,根据指数函数的单调性可知a-1>1,即p:a>2.
若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立,
当a=2时,不等式等价为-4<0,成立.
当a≠0时,要使不等式恒成立,则$\left\{\begin{array}{l}{a-2<0}\\{△=4(a-2)^{2}+16(a-2)<0}\end{array}\right.$,解得-2<a<2,
综上:-2<a≤2,即q:-2<a≤2,
若p∨q为真,p∧q为假,
则p,q一真一假,
若p假q真,则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{-2<a≤2}\end{array}\right.$,解得-2<a≤2.
若p真q假,则$\left\{\begin{array}{l}{a>2}\\{a≤-2,或a>2}\end{array}\right.$,解得a>2.
综上:实数a的取值范围是(-2,+∞).
点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系,先求出命题p,q成立的等价条件是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关题目
1.设Sn、Tn分别为等差数列{an}与{bn}的前n项和,若$\frac{S_n}{T_n}=\frac{2n-1}{3n+2},则\frac{a_7}{b_7}$等于( )
A. | $\frac{13}{23}$ | B. | $\frac{27}{44}$ | C. | $\frac{25}{41}$ | D. | $\frac{23}{38}$ |
6.正三角形ABC内一点M满足$\overrightarrow{CM}$=m$\overrightarrow{CA}$+n$\overrightarrow{CB}$,∠MCA=45°,则$\frac{m}{n}$的值为( )
A. | $\sqrt{3}$-1 | B. | $\sqrt{3}$+1 | C. | $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ |