若数列{Cn}满足①$\sqrt{{c} {n}{c} {n+2}}$≤cn+1.②存在常数M.使cn≤M．则称数列{cn}是“和谐数列．(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和.且a4=2.S4=30.求证:数列{Sn}是“和谐数列 ,(2)设{an}是各项为正数.公比为q的等比数列.Sn是{an}的前n项和.求证:数列{Sn}是“和谐数列的充要条件为0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．若数列{C_n}满足①$\sqrt{{c}_{n}{c}_{n+2}}$≤c_n+1，②存在常数M（M与n无关），使c_n≤M．则称数列{c_n}是“和谐数列”．
（1）设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，且a₄=2，S₄=30，求证：数列{S_n}是“和谐数列”；
（2）设{a_n}是各项为正数，公比为q的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，求证：数列{S_n}是“和谐数列”的充要条件为0＜q＜1．

分析（1）由等比数列的通项公式和前n项和公式由已知条件求出首项和公比，由此求出S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$，得到存在常数M=32，使得S_n＜32恒成立，从而能证明数列{S_n}是和谐数列．
（2）先证明充分性：已知等比数列{b_n}，且0＜q＜1，则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＜$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．再证明必要性：反证法证明即可．

解答证明：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，则q＞0，q≠1，
∵a₄=2，S₄=30，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{3}=2}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=30}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$…（3分）
∴$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n+2}}$=$\sqrt{（32-\frac{1}{{2}^{n-5}}）（32-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}$＜$\sqrt{3{2}^{2}-2×32×\frac{1}{{2}^{n-4}}+\frac{1}{{2}^{2n-8}}}$=32-$\frac{1}{{2}^{n-4}}$=S_n+1，
又S_n=32-$\frac{1}{{2}^{n-5}}$＜32，
∴存在常数M=32，使得S_n＜32恒成立．
∴数列{S_n}是和谐数列．…（7分）
（2）证明：充分性：已知等比数列{b_n}，且0＜q＜1，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$＜$\frac{{a}_{1}}{1-q}$
令M=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，则S_n＜M，
∵S_n•S_n+2=（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$）²（1-qⁿ-qⁿ⁺²+q²ⁿ⁺²）
＜（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$）²（1-2qⁿ⁺¹+q²ⁿ⁺²）=S_n+1²，
∴{S_n}是和谐数列．…（9分）
必要性：已知等比数列{a_n}，各项均为正数，S_n是其前n项和，
{S_n}是和谐数列，∵a_n＞0，∴q＞0．
下面反证法证明：q＜1…（10分）
若q=1，则S_n=na₁，∴不存在M使na₁＜M对于n∈N^*恒成立；…（11分）
若q＞1，则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}}{1-q}•{q}^{n}$，
对于给定的正数M，
令$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}}{1-q}•{q}^{n}$＞M，
∵q＞1，
∴n＞$lo{g}_{q}（\frac{q-1}{{a}_{1}}M+1）$，
即当n＞$lo{g}_{q}（\frac{q-1}{{a}_{1}}M+1）$时，总有S_n＞M
即即存在常数M，使得S_n＜M对于n∈N^*恒成立．
综上所述：{S_n}是和谐数列的充要条件为：0＜q＜1．…（13分）