Question

3．已知F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，△PF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q（0，$\sqrt{3}$），点N在椭圆上，且直线QN的斜率存在，求使△QF₂N面积取最大值时直线QN的方程．

Answer 1

分析 （1）由△PF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可．
（2）由题意设直线QN的方程为y=kx+$\sqrt{3}$，与椭圆方程联立化为$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx$=0，解得x，可得N，|QN．利用点到直线的距离公式可得点F₂（1，0）到直线QN的距离d，可得${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}|QN|•d$，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）∵△PF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，化为bc=$\sqrt{3}$．
又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由题意设直线QN的方程为y=kx+$\sqrt{3}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化为$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx$=0，
解得x=0或x=$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
∴N$（\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}，\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）$．
∴|QN|=$\sqrt{（\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{8|k|\sqrt{3+3{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$．
点F₂（1，0）到直线QN的距离d=$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}|QN|•d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{8|k|\sqrt{3+3{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|{k}^{2}+\sqrt{3}k|}{3+4{k}^{2}}$，
由图象可知：取k＞0即可．
∴${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+\sqrt{3}k）}{3+4{k}^{2}}$=f（k），
f′（k）=$\frac{-48（k-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}）（k-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
当$0＜k＜\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$时，f′（k）＞0，函数f（k）单调递增；当$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}＜k$时，f′（k）＜0，函数f（k）单调递减．
∴当k=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$时，函数f（k）取得最大值，此时直线QN的方程为：$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}x+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．