Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{asin2x，0≤x≤π}\end{array}\right.$．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． {-1}∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 当x＜0时，由f（x）=x²=1得x=-1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=$\frac{1}{a}$有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²=1，解得，x=-1；
∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，
∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；
显然可知a=0时方程无解；
故方程可化为sin2x=$\frac{1}{a}$，且有2个不同的解；
作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，

结合图象可得，
0＜$\frac{1}{a}$＜1或-1＜$\frac{1}{a}$＜0；
解得，a∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
故选D．

点评 本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．