题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
的左、右焦点分别为
,
为椭圆上一点(在
轴上方),连结
并延长交椭圆于另一点
,设
.
(1)若点的坐标为
,且
的周长为8,求椭圆
的方程;
(2)若垂直于
轴,且椭圆
的离心率
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)[
,5].
【解析】
试题分析:(1)根据椭圆定义,将三角形周长转化为:4a=8,再结合点P在椭圆上,得,解方程组得a=2,b2=3.(2)由于
垂直于
轴,所以P(c,
).再根据
,可求得Q(-
c,-
).代入椭圆方程得
+
=1,即λ=
,最后根据
,确定实数
的取值范围.
试题解析:(1)因为F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2的周长为4a.
由题意,得4a=8,解得a=2.
因为点P的坐标为 (1,),所以
,
解得b2=3.
所以椭圆C的方程为.
(2)方法一:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1).
因为P在椭圆上,所以,解得y0=
,即P(c,
).
因为F1(-c,0),所以=(-2c,-
),
=(x1+c,y1).
由=λ
,得-2c=λ(x1+c),-
=λy1,
解得x1=-c,y1=-
,所以Q(-
c,-
).
因为点Q在椭圆上,所以()2e2+
=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因为λ+1≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,从而λ=.
因为e∈[,
],所以
≤e2≤
,即
≤λ≤5.
所以λ的取值范围为[,5].
方法二:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.
因为P在椭圆上,所以+
=1,解得y0=
,即P(c,
).
因为F1(-c,0),故直线PF1的方程为y= (x+c).
由,得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c,).设Q(x1,y1),
则x1+c=-,即-c-x1=
.
因为=λ
,
所以λ==
=
=
=
.
因为e∈[,
],所以
≤e2≤
,即
≤λ≤5.
所以λ的取值范围为[,5].
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