题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)设,当
时,若对任意
,存在
,使
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,增区间为
,减区间为
;当
时,增区间为
,减区间为
和
;当
时,减区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)首先求得函数的定义域与导函数,然后分
、
、
求得函数的单调区间;(2)首先结合(1)求得当
时
的最小值,然后利用分离参数法得
,由此令
,从而根据
的单调性求得其最小值,进而求得
的取值范围.
试题解析:(1)的定义域为
,
当时,由
,∴
的单调增区间为
由,∴
的单调减区间为
,
当时,由
,∴
的单调增区间为
,
由,∴
的单调减区间为
,
当时,由
,∴
的单调增区间为
,
由和
,∴
的单调减区间为
和
.
当时,
,∴
的单调减区间为
,
综上所述当时,
的单调增区间为
,单调减区间为
.
当时,
的单调增区间为
,单调减区间为
和
,
当时,
的单调减区间为
.
(2)当时,由(1)知
在
,
,依题意有
,
∵在
上有解,
令,知
在
单调递减,在
单调递增,
∴
∴,∴
的取值范围为
.
或用,而
,对
分三种情况:
①
无解;
②
;
③
.
综上:∴的取值范围为
.
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