题目内容

【题目】已知坐标平面上点与两个定点 的距离之比等于.

(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

(2)记(1)中的轨迹为,过点的直线所截得的线段的长为,求直线的方程

【答案】 (1) 的轨迹方程是,轨迹是以为圆心,以为半径的圆;

(2) ,或.

【解析】 试题分析】(1)运用两点间距离公式建立方程进行化简;(2)借助直线与圆的位置关系,运用圆心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率,再用直线的点斜式方程分析求解:

(1)由题意,得

化简,得

的轨迹方程是

轨迹是以为圆心,以为半径的圆

(2)当直线的斜率不存在时,

此时所截得的线段的长为

符合题意.

当直线的斜率存在时,设的方程为

,即

圆心到的距离

由题意,得

解得

∴直线的方程为

.

综上,直线的方程为

,或.

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