Question

【题目】已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ） ①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当 时，它一定取最大值

A.①②
B.①③
C.②④
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解答：由已知可得：f（﹣x）=﹣f（x） …（1）
f（﹣x﹣ ）=﹣f（x+ ）…（2）
f（﹣x+ ）=f（x+ ）…（3）
由（3）知 函数f（x）有对称轴x=
由（2）（3）得 f（﹣x﹣ ）=﹣f（﹣x+ ）；
令z=﹣x+ 则﹣x﹣ =z﹣π，
∴f（z﹣π）=﹣f（z），
故有f（z﹣π﹣π）=﹣f（z﹣π），
两者联立得 f（z﹣2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（﹣z）=﹣f（z），代入上式得：f（z﹣2π）=﹣f（﹣z）；
由此式可知：函数f（x）有对称中心（﹣π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B
分析：本题函数的性质，先对已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且 为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．