题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若,求
的单调区间;(Ⅱ)若
有最大值3,求
的值;(Ⅲ)若
的值域是
,求
的取值范围。
【答案】(Ⅰ)上单调递减,在
单调递增. (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将原函数分解为两个基本初等函数,借助于复合函数单调性判定方法可求得函数单调区间;(Ⅱ)由函数有最大值可知原函数先增后减,所以二次函数先减后增,及二次函数取得最小值-1,由此可得a的值;(Ⅲ)由函数值域可得可取的所有得正数,结合二次函数性质可求得
的取值范围
试题解析:(Ⅰ)当时,
,令
,由于
在
上单调递增,在
单调递减,而
在
上单调递减,
在
上单调递减,在
单调递增. …………4分
(Ⅱ)令,
,由于
有最大值3,所以
应有最小值-1,因此
,解得
.…………8分
(Ⅲ)由指数函数的性质可知,要使的值域为
,则
的值域应为
,因此只能是
,因为若
,则
为二次函数,值域不可能是
,故
的取值范围是
.…12分
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