Question

15．已知b∈R，若二次函数f（x）=x²+bx+1的图象与一次函数g（x）=x的图象有两个交点，且两个交点的横坐标x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂．
（1）若x₁=$\frac{1}{3}$，求x₂及函数f（x）的单调增区间；
（2）若x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，当x∈[0，3]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将x=$\frac{1}{3}$代入方程求出b，从而求出f（x）的递增区间和x₂的值即可；（2）根据x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，求出b的值，得到f（x）的单调区间，从而求出f（x）的值域．

解答 解：（1）x=$\frac{1}{3}$时：$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$b+1=$\frac{1}{3}$，解得：b=-$\frac{7}{3}$，
∴f（x）=x²-$\frac{7}{3}$x+1，
∴对称轴x=$\frac{7}{6}$，开口向上，
∴f（x）在（$\frac{7}{6}$，+∞）递增，
由x²-$\frac{7}{3}$x+1=x，解得：x₂=3；
（2）由x²+bx+1=x，
得：x²+（b-1）x+1=0，
∴x₁+x₂=1-b=$\frac{5}{2}$，解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+1，对称轴x=$\frac{3}{4}$，开口向上，
∴f（x）在[0，$\frac{3}{4}$）递减，在（$\frac{3}{4}$，3]递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{7}{16}$，f（x）_max=$\frac{11}{2}$，
∴f（x）∈[$\frac{7}{16}$，$\frac{11}{2}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及最值问题，是一道中档题．