Question

3．已知点A（2，0），点B（-2，0），直线l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R）．
（1）求直线l所经过的定点P的坐标；
（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；
（3）若分别过A，B且斜率为$\sqrt{3}$的两条平行直线截直线l所得线段的长为$4\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；
（2）求出A，B与定点的斜率，即可得到λ的取值范围；
（3）先求出过A，B且斜率为$\sqrt{3}$的两条平行直线，再分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．

解答 解：（1）由题意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），
则λ（x+y-4）+（3x-y）=0，
∵λ∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$，
解的$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线l所经过的定点P的坐标（1，3）；
（2）∵点A（2，0），点B（-2，0），定点P的坐标（1，3）；
∴k_PA=$\frac{3-0}{1-2}$=-3，k_PB=$\frac{3-0}{1-（-2）}$=1，
∵直线l与线段AB有公共点，
当λ=1时，直线x=1，与线段AB有公共点，
当λ≠1时，直线l的斜率k=$\frac{λ+3}{1-λ}$，
∴$\frac{λ+3}{1-λ}$≥1或$\frac{λ+3}{1-λ}$≤-3，
解的-1≤λ＜1，或1＜λ≤3，
综上所述：λ的取值范围为[-1，3]．
（3）分别过A，B且斜率为$\sqrt{3}$的两条平行直线，分别为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
由（1）知，l恒过点（1，3），
当斜率存在时，设直线l为y-3=k（x-1），由图象易知，直线l的倾斜角为30°，即k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴过点p的直线l为y-3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x-3y+9-$\sqrt{3}$=0．
当直线l的斜率不存在时，由（1）可知直线过定点（1，3），则直线方程为x=1，
令x=1，可知y₁=3$\sqrt{3}$，y₂=-$\sqrt{3}$，|y₁-y₂|=4$\sqrt{3}$，符合题意，
综上所述：直线l的方程为x=1或 $\sqrt{3}$x-3y+9-$\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查直线恒过定点，两直线交点的意义，直线与直线的距离，直线的斜率的范围是解得本题的关键，属于中档题．