Question

10．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上．
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），判断直线l与圆C的位置关系，并求圆C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）运用两角差的余弦公式和极坐标和直角坐标的关系，化简即可得到所求；
（2）求得圆的圆心和半径，由直线和圆的位置关系的判断方法，比较d与r的大小，再由直线和圆上的点的距离的最大值为d+r，即可得到所求．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
即有ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=a，
即为x+y-$\sqrt{2}$a=0，
将A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
可得a=$\sqrt{2}$cos0=$\sqrt{2}$；
直线l的直角坐标方程为x+y-2=0；
（2）圆C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
即为（x-4）²+y²=1，即圆心为（4，0），半径为1，
由d=$\frac{|4+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞1，可得直线l和圆相离；
圆C上的点到直线l的最大距离为d+r=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．