题目内容
【题目】某省
年开始将全面实施新高考方案．在
门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为
，
，
，
，
共
个等级，各等级人数所占比例分别为
、
、、
和
，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
原始分 | 91 | 90 | 89 | 88 | 87 | 85 | 83 | 82 |
转换分 | 100 | 99 | 97 | 95 | 94 | 91 | 88 | 86 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于
分的人数为
，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分
服从正态分布
．若
，令
，则
，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省
名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记
为被抽到的原始分不低于
分的学生人数，求
取得最大值时
的值．
附：若，则
，
．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为
；（2）①69分；②
．
【解析】
（1）写出随机变量
的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为
，由
求出
.由
，得
.由题意
，又
，故
，故
，即可求出；②由题意
，根据独立重复实验的概率计算公式，求出
，代入不等式组，即求
的值.
（1）随机变量的所有可能的取值为
.
由题意可得：
，
，
，
，
随机变量的分布列为
|
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|
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|
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|
数学期望
．
（2）①设该划线分为，由得
，
令
，则，
由题意，，即
，
，
，，
，
，取
．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于
分的事件概率约为
，
，
．
由
即
解得
，
，
，
当时，
取得最大值．
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【题目】下表是我国大陆地区从2013年至2019年国内生产总值（GDP）近似值（单位：万亿元人民币）的数据表格：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
中国大陆地区GDP： （单位：万亿元人民币） |
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为解释变量，
为预报变量，若以
为回归方程，则相关指数
；若以
为回归方程，则相关指数
．
（1）判断与
哪一个更适宜作为国内生产总值（GDP）近似值关于年份代号的回归方程，并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的回归方程（系数精确到
）；
（3）党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实视社会主义现代化．若到2035年底我国人口增长为
亿人，假设到2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值的频率直方图如图所示．
以（2）的结论为依据，预测我国在2035年底人均国民生产总值是否可以超过假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值．
参考数据：
，
．
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
【题目】某精密仪器生产厂准备购买
，
，
三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数 | 5 | 6 | 7 | |
频数 |
| 60 | 60 | 0 |
| 30 | 60 | 30 | |
| 0 | 80 | 40 | |
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
（Ⅰ）求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
（Ⅱ）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
