Question

【题目】如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，且 ， 平面 .

（1）求 与平面 所成角的正弦值；
（2）棱 上是否存在一点 满足 ?若存在，求 的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 ，则 ，从而 .
设平面 的法向量为 ,则 ，且 ，
即 ，且 ，不妨取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ,
此时 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 ；

（2）解：设 ，则
则 ，
由 得 ，
化简得， ，该方程无解，
所以，棱 上不存在一点 满足
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面的夹角 ， 即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）先假设存在E符合条件，利用空间向量垂直的性质列出方程，问题转化为判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．