Question

3．已知函数f（x）=2^2x-$\frac{5}{2}$•2^x+1-6
（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x（1≤t≤16），则y=f（x）=t²-5t-6，讨论对称轴和区间的关系，可得最值；
（2）运用换元法和参数分离，可得a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．运用对号函数的单调性，可得最大值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）令t=2^x（1≤t≤16），则y=f（x）=t²-5t-6，
对称轴t=$\frac{5}{2}$，当t=$\frac{5}{2}$时，即x=log₂$\frac{5}{2}$，取得最小值-$\frac{49}{4}$；
当t=1时，y=-10，当t=16时，y=170．
则x=4时，取得最大值170．
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，
令t=2^x（1≤t≤16），
即为t²-5t+6-at≥0，即有a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．
由于t+$\frac{6}{t}$-5在[1，$\sqrt{6}$）递减，在（$\sqrt{6}$，16]递增，
当t=1时，t+$\frac{6}{t}$-5=2；当t=16时，t+$\frac{6}{t}$-5=$\frac{91}{8}$．
即有t=16取得最大值．
则a≤$\frac{91}{8}$．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用，考查二次函数的最值的求法，不等式成立的条件，注意运用参数分离，属于中档题和易错题．