Question

18．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则下列四个结论
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面CBD成60°角；④AB与CD所成角为45°，
其中正确的结论个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 取AC的中点E，连接DE，BE，根据正方形可知EB⊥AC，ED⊥AC，则∠BED为二面角B-AC-D的平面角，在三角形BDE中求出BD的长．然后求出所求角的大小

解答 解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正确．
AD=DC=AB=BC=a，
取AC的中点E，连接DE，BE，DE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵ABCD是正方形，∴EB⊥AC，ED⊥AC，
∴∠BED为二面角B-AC-D的平面角，∴∠BED=90°
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=a．
所以△ADC是正三角形，故②正确；
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③错误．?
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，?
则A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{1}{2}$
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，故④错误．
故选B

点评 本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查在折叠问题中考查两点间的距离，判定三角形的形状．关键是折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没变．