Question

12．已知函数f（x）=2ax³-3x²+1，若 f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，1）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的极值与x轴之间的关系即可得到结论．

解答 解：若a=0，则函数f（x）=-3x²+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax²-6x=6ax（x-$\frac{1}{a}$），
若 f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{a}$或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{a}$，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=$\frac{1}{a}$处取得极小值f（$\frac{1}{a}$），若x₀＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得$\frac{1}{a}$＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜$\frac{1}{a}$或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=$\frac{1}{a}$处取得极小值f（$\frac{1}{a}$），
若存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，
则f（$\frac{1}{a}$）＞0，即2a（$\frac{1}{a}$）³-3（$\frac{1}{a}$）²+1＞0，
（$\frac{1}{a}$）²＜1，即-1＜$\frac{1}{a}$＜0，
解得a＜-1，
故选：D

点评 本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．